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Il gioco delle tre porte – Le percentuali della discordia

Il gioco delle tre porte – Le percentuali della discordia

Ci sono dei momenti in cui l’intuitività si scontra prepotentemente con il raziocinio, creando non pochi problemi al nostro modo di pensare. Questo è certamente il caso del Problema di Monty Hall, noto anche come “il problema del conduttore di quiz televisivo”, così chiamato dal professor Mickey Rosa nel film 21 (2008). Il gioco delle tre porte mina l’equilibrio mentale di chi si ritrova a tentare di risolverlo.

Il punto di partenza è semplice: ci sono tre porte. Dietro una porta si nasconde un ricco premio – una Ferrari, seguendo la trama del film. Dietro le altre ci sono due semplici capre. Il presentatore propone il gioco al proprio concorrente, che ha dunque una possibilità su tre di portarsi a casa l’ambito premio – il 33,3% di vittoria.

Il concorrente sceglie allora una porta, mettiamo la n. 2. Ecco allora che il presentatore complica il gioco, matematicamente parlando, aprendo una delle due porte rimaste – dove sa esserci una capra, poniamo la n. 3 – e offrendo al concorrente la possibilità di cambiare scelta.

A questo punto il concorrente ha due alternative: mantenere la propria scelta (n. 2) oppure cambiarla con la porta n. 1. È facile pensare che cambiare o non cambiare scelta sia ininfluente ai fini probabilistici, perché la probabilità di vittoria sembra comunque essere del 50%, qualunque decisione venga presa. Sarebbe semmai determinante capire se il conduttore stia cercando di ingannarci proponendo lo scambio o se voglia appositamente lasciarcelo credere di modo che la nostra scelta non cambi. E così via lungo la catena della psicologia inversa e dalla metapsicologia.

Eppure la soluzione al problema stravolge totalmente il modo in cui il concorrente – e per estensione chiunque pensi di essere nei suoi panni – ha pensato, in termini di probabilità, alla decisione da prendere. Di fatto, cambiando la propria scelta si ha il 66,6% di chance di vittoria, contro il 33,3% che si avrebbe mantenendo la scelta iniziale.

gioco delle tre porte

Mickey Rosa (Kevin Spacey), dal film “21”.

Immagino che troviate questa epifania della logica almeno contro-intuitiva, come lo fu per me quando mi trovai per la prima volta di fronte al gioco delle tre porte. Vi chiedo tuttavia di fidarvi di quanto affermato, che trova riscontro nei risultati del Teorema di Bayes, dimostrazione che esula dalle mie capacità e che, in ogni caso, sarebbe troppo lunga da riproporre.

Si può percorrere una strada alternativa – meno rigorosa, ma più efficace – per convincere la propria mente a sincronizzarsi con la soluzione del problema. Vanno innanzitutto fatte due premesse:

  • Il conduttore vi darà sempre la possibilità di effettuare una seconda scelta dopo aver aperto una delle due porte rimaste.
  • Il conduttore non può aprire la porta con la Ferrari – è ovvio – ma solo quella con una capra.

Tenendo bene a mente le due premesse, immaginate che il conduttore chieda al concorrente di effettuare una scelta e, immediatamente dopo, gli proponga di cambiare quella porta con le due rimanenti. In tal senso, le alternative sarebbero quelle di avere dalla propria parte una porta oppure due. Dovrebbe essere chiaro a tutti che accettando la proposta di scambio del conduttore, il concorrente avrebbe due possibilità su tre di trovarci dietro il premio, ovvero il 66,6%.

Ricordate: è irrilevante che il conduttore voglia ingannare oppure no il concorrente. Non c’è attrito psicologico che tenga come contro-spiegazione perché il conduttore offrirà sempre al concorrente la possibilità di cambiare la propria scelta iniziale. È schiavo del problema stesso.

Torniamo dunque al nostro problema iniziale. Aprendo una delle due porte rimaste e offrendo al concorrente la nuova scelta, il conduttore compie la stessa identica azione sopracitata, ovvero quella di offrire al concorrente le due porte rimaste al posto di quella scelta. L’unica differenza fra il problema originario e il ragionamento proposto dopo è che il conduttore prima scarta automaticamente la porta non vincente delle due che avrebbe proposto al concorrente in cambio della propria scelta e dopo gli offre di cambiare quella rimasta con la quella scelta inizialmente.

In entrambi i casi, cambiando la scelta iniziale con la successiva offerta del conduttore, il concorrente avrà sempre due possibilità su tre di vincere, ovvero il 66,6%.

È come se avesse detto al concorrente: “Tu hai scelto la porta n. 2 (33,3%), ma io ti offro in cambio sia la n. 1 che la n. 3 (66,6%). Ora ti apro la n. 3, dietro la quale so esserci una capra. Quindi se il premio fosse stato in n. 1 oppure in n. 3, a questo punto sarebbe sicuramente in n. 1. Che fai tieni la n. 2 o cambi con la n. 1?”

Capisco che non sia per niente semplice metabolizzare un simile rompicapo. Posso però suggerirvi di simulare il problema del gioco delle tre porte fra amici e familiari, magari con tre bicchieri e una pallina come premio. Ripetendo l’esperimento molte volte, seguendo lo schema del problema, vi accorgerete che cambiando la vostra scelta iniziale avrete più chance di vincere la pallina – per la Ferrari magari ne riparliamo.

gioco delle tre porte

Il protagonista di “21”.

Autore del Post

Edoardo Wasescha

Amava definirsi un nerd prima che diventasse una moda. È appassionato di filosofia e di fisica, di cinema e di serie tv, ama scrivere perché, più che un posto nel mondo per sé, lo cerca per i propri pensieri. Il blog è la sintesi di tutto questo.

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